Pewniaki maturalne z matematyki – matura podstawowa i rozszerzona

Zastanawiasz się, co ma największą szansę pojawić się na maturze? Centralna Komisja Egzaminacyjna trzyma się sztywnego układu. W trakcie przygotowań do matury w 2026 roku musisz skupić się na tych powtarzalnych schematach. Oto działy i typy zadań, które generują cenne punkty na maturze podstawowej.

• Liczby rzeczywiste i algebra: Potęgi i działania na zbiorach

To zadania, które otwierają niemal każdy egzamin. Najczęściej polegają na sprowadzeniu wyrażenia do wspólnej podstawy. Zawsze pojawia się ułamkowa lub ujemna potęga. Typowe zadanie weryfikuje znajomość wzorów skróconego mnożenia dla każdej liczby rzeczywistej lub operowanie na zbiorze liczb naturalnych. To proste zamknięte pytania, w których wystarczy zwinąć równanie, wykorzystując gotowe wzory z tablic.

Przykład zadania z arkusza:
Oblicz wartość wyrażenia (3⁴ · 3⁵) / 3⁷.
Inny klasyk z tego działu: Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność x² + 4x + 4 ≥ 0.

• Wartość bezwzględna, wielomiany i równania wymierne (pamiętaj o dziedzinie!)

To sekcja podchwytliwa. W przypadku równań wielomianowych na 99% dostaniesz gotową postać iloczynową. Jedyne co musisz zrobić, to przyrównać każdy nawias do zera. Z kolei przy równaniach wymiernych (gdzie niewiadoma „x” pojawia się w mianowniku ułamka) absolutnym obowiązkiem, za który dostajesz punkty, jest wyznaczenie dziedziny – pamiętaj, że mianownik nie może być zerem! Kolejny drobny pewniak to wartość bezwzględna, interpretowana jako odległość na osi liczbowej.

Przykład zadania z arkusza:
Rozwiąż równanie: x(x + 2)(x – 3) = 0.
Wariant z ułamkiem: Rozwiąż równanie wymierne (2x – 4) / (x + 1) = 0. (Zacznij od założenia, że x + 1 ≠ 0).

• Funkcja liniowa, kwadratowa i układ współrzędnych

W tym bloku musisz płynnie poruszać się po osiach układu. Funkcja liniowa to Twój sprzymierzeniec. Z pewnością padnie polecenie: „wskaż równanie prostej prostopadłej do prostej o zadanym wzorze” (np. prostej o równaniu y = 3x – 5). CKE uwielbia też zadania, w których funkcja kwadratowa określona jest wzorem i trzeba obliczyć pierwszą współrzędną punktu (czyli p) określającego wierzchołek. Zawsze pojawia się też rysunek paraboli będącej wykresem funkcji – należy wskazać z niego, co jest miejscem zerowym funkcji. Gdy w poleceniu widzisz, że w układzie współrzędnych dane są punkty A i B, niemal na pewno musisz wyznaczyć ich środek lub odległość.

Przykład zadania z arkusza:
W układzie współrzędnych dane są punkty A = (1, 2) oraz B = (3, 4). Wskaż równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu y = -½x + 3.
Wariant z parabolą: Funkcja kwadratowa jest określona wzorem f(x) = x² – 6x + 8. Wyznacz pierwszą współrzędną punktu będącego wierzchołkiem paraboli, a następnie wyznacz rozwiązywania nierówności kwadratowych f(x) > 0.

• Ciągi liczbowe (arytmetyczne i geometryczne)

Kolejne pewniaki, które masowo pojawiają się na maturze. Typowy klasyk: dany jest ciąg określony wzorem, a Twoim zadaniem jest sprawdzenie, czy konkretny wyraz tego ciągu jest równy podanej liczbie lub obliczenie sumy pierwszych wyrazów tego ciągu. Zawsze testowany jest ciąg geometryczny oraz ciąg arytmetyczny. Jeżeli masz podane liczby, które są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, korzystasz ze wzoru na średnią sąsiadów. Często pytają wprost: ile różnica tego ciągu jest równa lub ile wynosi np. piąty wyraz ciągu arytmetycznego.

Przykład zadania z arkusza:
Liczby 4, x, 16 są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz x.
Wariant ze wzorem: Dany jest ciąg określony wzorem a_n = 2n – 5. Sprawdź, czy czwarty wyraz tego ciągu jest równy 3.

• Planimetria: Kąty, trójkąty i okręgi

Na egzaminie zawsze czeka geometria płaska. Pewniakiem jest rysunek, na którym punkty leżą na okręgu o środku S. Niezbędny jest tu kąt środkowy i wpisany (oparte na tym samym łuku). W małym palcu musisz też mieć każdy trójkąt prostokątny i twierdzenie Pitagorasa. Te zadania lubią pojawić się na maturze podstawowej jako łamigłówki, gdzie podane pole jest równe np. 24, a Ty musisz odszukać ukryte kąty lub długości boków okręgu o środku O.

Przykład zadania z arkusza:
Punkty A, B, C leżą na okręgu o środku S. Kąt środkowy ASB oparty na tym samym łuku co kąt wpisany ACB ma miarę 110°. Oblicz miarę kąta wpisanego ACB.

• Stereometria: Graniastosłupy i ostrosłupy (przestrzeń 3D)

Zadania przestrzenne generują mnóstwo punktów. Klasykiem jest tu graniastosłup (często podane jest pole podstawy prawidłowego czworokątnego jest równa konkretnej liczbie). Kluczem są kąty nachylenia: szukaj trójkątów prostokątnych, gdy krawędź ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy, lub gdy przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem np. 60 stopni. Równie ważne są bryły obrotowe – pamiętaj, by umieć wyliczyć ile objętość ostrosłupa czy stożka jest równa, gdy znane jest jego pole powierzchni.

Przykład zadania z arkusza:
Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku 4. Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45°. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

• Prawdopodobieństwo i statystyka

Dział gwarantujący niemal darmowe punkty. Doświadczenie najczęściej polega na rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry (jeden lub dwa razy). Statystyka to zawsze zadania związane ze średnią arytmetyczną i medianą. Spotkasz tam proste równanie: suma podanych liczb jest równa z góry określonej wartości i brakuje jednej zmiennej x.

Przykład zadania z arkusza:
Rzucamy dwukrotnie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia sumy oczek równej 7.
Wariant ze statystyki: Średnia arytmetyczna zestawu liczb 2, 4, 8, x jest równa 5. Oblicz x.